CÁLCULO DIMENSIONAL TENSORIAL GRACELI

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $G$ * $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $/$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ +

$+$ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE INTERAÇÕES DE CAMPOS. EM ;

MECÂNICA GRACELI REPRESENTADA POR TRANSFORMADA.

dd = dd [G] = DERIVADA DE DIMENSÕES DE GRACELI.

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$

G { f [dd]} ´[d] $\psi ^{*}$ $\hbar$ $\psi$ $f [d] G*$ $T_{\mu \nu }$ $\psi$ $dd [G]$

O ESTADO QUÂNTICO DE GRACELI

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$ $\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ ]

$G* = DIMENSÕES DE GRACELI TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO COM INTERAÇÕES DE ENERGIAS, QUÂNTICAS, RELATIVÍSTICAS, , E INTERAÇÕES DE CAMPOS.$

o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético,

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$G$

Efeito da medição no estado

Quando uma medição é realizada, apenas um resultado é obtido (de acordo com algumas interpretações da mecânica quântica). Isso é modelado matematicamente como o processamento de informações adicionais da medição, confinando as probabilidades de uma segunda medição imediata do mesmo observável. No caso de um espectro não degenerado, discreto, duas medições sequenciais do mesmo observável sempre darão o mesmo valor, assumindo que a segunda segue imediatamente a primeira. Portanto, o vetor de estado deve mudar como resultado da medição e colapsar no autosubespaço associado ao autovalor medido.

Postulado II.c

Se a medição da grandeza física ${\mathcal {A}}$ no sistema no estado $|\psi \rangle$ der o resultado $a_{n}$ , então o estado do sistema imediatamente após a medição é a projeção normalizada de $|\psi \rangle$ no autosubespaço associado a $a_{n}$

$|\psi \rangle \quad {\overset {a_{n}}{\Longrightarrow }}\quad {\frac {P_{n}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |P_{n}|\psi \rangle }}}$

$G$

Para um estado misto $ρ$ , após obter um autovalor $a_{n}$ em um espectro que não é degenerado, discreto, do observável correspondente $�$ , o estado atualizado é dado por ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ . Se o autovalor $a_{n}$ tem autovetores ortonormais degenerados $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ , então o operador de projeção no autosubespaço é $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ .

Os postulados II.c são algumas vezes chamados de "regra de atualização de estado" ou "regra de colapso"; junto com a regra de Born (Postulados II.a e II.b), eles formam uma representação completa de medições e algumas vezes são coletivamente chamados de postulado(s) de medição.

Observe que as medidas de valor de projeção (PVM) descritas nos postulados de medição podem ser generalizadas para medidas de valor de operador positivo (POVM), que é o tipo mais geral de medição na mecânica quântica. Um POVM pode ser entendido como o efeito em um subsistema componente quando um PVM é executado em um sistema composto maior (teorema de dilatação de Naimark).

Evolução temporal de um sistema

Embora seja possível derivar a equação de Schrödinger, que descreve como um vetor de estado evolui no tempo, a maioria dos textos afirma a equação como um postulado. Derivações comuns incluem o uso da hipótese de de Broglie ou integrais de caminho.

De forma equivalente, o postulado da evolução temporal pode ser declarado como:

Postulado III

A evolução temporal do vetor de estado $|\psi (t)\rangle$ é governada pela equação de Schrödinger, onde $H(t)$ é o observável associado à energia total do sistema (chamado de Hamiltoniano)

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle$

$G$

Para um sistema fechado em um estado misto $ρ$ , a evolução temporal é $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$

Postulado III

A evolução temporal de um sistema fechado é descrita por uma transformação unitária no estado inicial.

$|\psi (t)\rangle =U(t;t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$

$G$

A evolução de um sistema quântico aberto pode ser descrita por operações quânticas (em um formalismo de soma de operadores) e instrumentos quânticos, e geralmente não precisa ser unitária.

Outras implicações dos postulados

Simetrias físicas agem no espaço de Hilbert de estados quânticos unitariamente ou antiunitariamente devido ao teorema de Wigner (supersimetria é outra questão completamente diferente).
Operadores de densidade são aqueles que estão no fechamento do casco convexo dos projetores ortogonais unidimensionais. Por outro lado, projetores ortogonais unidimensionais são pontos extremos do conjunto de operadores de densidade. Físicos também chamam projetores ortogonais unidimensionais de estados puros e outros operadores de densidade de estados mistos.
Pode-se, neste formalismo, declarar o princípio da incerteza de Heisenberg e prová-lo como um teorema, embora a sequência histórica exata de eventos, a respeito de quem derivou o quê e sob qual estrutura, seja o assunto de investigações históricas fora do escopo deste artigo.
Pesquisas recentes mostraram^[7] que o postulado do sistema composto (postulado do produto tensorial) pode ser derivado do postulado de estado (Postulado I) e dos postulados de medição (Postulados II); Além disso, também foi demonstrado^[8] que os postulados de medição (Postulados II) podem ser derivados da "mecânica quântica unitária", que inclui apenas o postulado de estado (Postulado I), o postulado do sistema composto (postulado do produto tensorial) e o postulado da evolução unitária (Postulado III).

Além disso, aos postulados da mecânica quântica também se deve adicionar afirmações básicas sobre as propriedades do spin e o princípio de exclusão de Pauli, veja abaixo.

Spin

Além de suas outras propriedades, todas as partículas possuem uma $grandeza chamada spin, um momento angular intrínseco . Apesar do nome, as partículas não giram literalmente em torno de um eixo, e o spin mecânico quântico não tem correspondência na física clássica. Na representação de posição, uma função de onda sem spin tem posição r e tempo t como variáveis contínuas, ψ = ψ (r, t) . Para funções de onda de spin, o spin é uma variável discreta adicional: ψ = ψ (r, t, σ), onde σ assume os valores;$

$\sigma =-S\hbar ,-(S-1)\hbar ,\dots ,0,\dots ,+(S-1)\hbar ,+S\hbar$

$G$

Isto é, o estado de uma única partícula com spin $S$ é representado por um spinor de $(2 S + 1)$ -componente de funções de onda de valor complexo.

Duas classes de partículas com comportamento muito diferente são bósons que têm spin inteiro ( $S = 0, 1, 2, ...$ ), e férmions que possuem spin meio inteiro ( $S = 1 ⁄ 2, 3 ⁄ 2, 5 ⁄ 2, ...$ ).

Postulado de simetrização

Ver artigo principal: Partículas indistinguíveis

Na mecânica quântica, duas partículas podem ser distinguidas uma da outra usando dois métodos. Ao realizar uma medição das propriedades intrínsecas de cada partícula, partículas de diferentes tipos podem ser distinguidas. Caso contrário, se as partículas forem idênticas, suas trajetórias podem ser rastreadas, o que distingue as partículas com base na localidade de cada partícula. Enquanto o segundo método é permitido na mecânica clássica (ou seja, todas as partículas clássicas são tratadas com distinguibilidade), o mesmo não pode ser dito para partículas mecânicas quânticas, uma vez que o processo é inviável devido aos princípios fundamentais da incerteza que governam pequenas escalas. Portanto, o requisito de indistinguibilidade de partículas quânticas é apresentado pelo postulado de simetrização. O postulado é aplicável a um sistema de bósons ou férmions, por exemplo, na previsão dos espectros do átomo de hélio. O postulado, explicado nas seções a seguir, pode ser declarado da seguinte forma:

Exceções podem ocorrer quando as partículas são restringidas a duas dimensões espaciais onde a existência de partículas conhecidas como anyons é possível, as quais são ditas como tendo um contínuo de propriedades estatísticas abrangendo o intervalo entre férmions e bósons.^[9] A conexão entre o comportamento de partículas idênticas e seu spin é dada pelo teorema de estatística e spin.

Postulado de simetrização^[9]

A função de onda de um sistema de N partículas idênticas (em 3D) é totalmente simétrica (bósons) ou totalmente antisimétrica (férmions) sob troca de qualquer par de partículas.

Pode ser demonstrado que duas partículas localizadas em diferentes regiões do espaço ainda podem ser representadas usando uma função de onda simetrizada/antissimetrizada e que o tratamento independente dessas funções de onda dá o mesmo resultado.^[10] Portanto, o postulado de simetrização é aplicável no caso geral de um sistema de partículas idênticas.

Degeneração de troca

Em um sistema de partículas idênticas, seja P conhecido como operador de troca que atua na função de onda como:

P{\bigg (}\cdots |\psi \rangle |\phi \rangle \cdots {\bigg )}\equiv \cdots |\phi \rangle |\psi \rangle \cdots

$G$

Se um sistema físico de partículas idênticas for dado, a função de onda de todas as partículas pode ser bem conhecida a partir da observação, mas estas não podem ser rotuladas para cada partícula. Assim, a função de onda trocada acima representa o mesmo estado físico que o estado original, o que implica que a função de onda não é única. Isso é conhecido como degeneração de troca.^[11]

Mais geralmente, considere uma combinação linear de tais estados, $|\Psi \rangle$ . Para a melhor representação do sistema físico, esperamos que este seja um autovetor de P, já que o operador de troca não é esperado para fornecer vetores completamente diferentes no espaço de Hilbert projetivo. Já que $P^{2}=1$ , os possíveis autovalores de P são +1 e −1. Os estados $|\Psi \rangle$ para sistemas de partículas idênticos são representados como simétricos para autovalor +1 ou antisimétricos para autovalor -1, como segue:

P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle =+|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle

P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle =-|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle

$G$

Princípio de exclusão de Pauli

A propriedade de spin se relaciona com outra propriedade básica referente a sistemas de $N$ partículas idênticas: o princípio de exclusão de Pauli, que é uma consequência do seguinte comportamento de permutação de uma função de onda de $N$ -partículas; novamente na representação de posição deve-se postular que para a transposição de quaisquer duas das $N$ partículas deve-se sempre ter:

Princípio de Pauli

$\psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots )=(-1)^{2S}\cdot \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots )$

$G$

ou seja, na transposição dos argumentos de quaisquer duas partículas a função de onda deve reproduzir, além de um prefator $(-1) 2 S$ que é $+1$ para bósons, mas ( $-1$ ) para férmions. Elétrons são férmions com $S = 1/2$ ; quanta de luz são bósons com $S = 1$ .

Devido à forma da função de onda anti-simetrizada:

\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|

$G$

se a função de onda de cada partícula for completamente determinada por um conjunto de números quânticos, então dois férmions não podem compartilhar o mesmo conjunto de números quânticos, já que a função resultante não pode ser antissimetrizada (ou seja, a fórmula acima dá zero). O mesmo não pode ser dito dos bósons, já que sua função de onda é:

|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle ={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle

$G$

onde $n_{j}$ é o número de partículas com a mesma função de onda.

Exceções ao postulado de simetrização

Na mecânica quântica que não é relativística, todas as partículas são bósons ou férmions; nas teorias quânticas relativísticas, também existem teorias "supersimétricas", onde uma partícula é uma combinação linear de uma parte bosônica e uma parte fermiônica. Somente na dimensão $d = 2$ é possível construir entidades onde $(-1) 2 S$ é substituído por um número complexo arbitrário com magnitude 1, chamado anyons. Na mecânica quântica relativística, o teorema estatístico de spin pode provar que, sob certo conjunto de suposições, as partículas de spin inteiro são classificadas como bósons e as partículas de meio spin são classificadas como férmions. Anyons que não formam estados simétricos nem antisimétricos são considerados como tendo spin fracionário.

Embora spin e o princípio de Pauli só possam ser derivados de generalizações relativísticas da mecânica quântica, as propriedades mencionadas nos dois últimos parágrafos pertencem aos postulados básicos já no limite que não é relativístico. Especialmente, muitas propriedades importantes na ciência natural, por exemplo, o sistema periódico da química, são consequências das duas propriedades.

Estrutura matemática da mecânica quântica

Representações da dinâmica

Na chamada representação de Schrödinger da mecânica quântica, a dinâmica é dada da seguinte forma:
A evolução temporal do estado é dada por uma função diferenciável dos números reais $R$ , representando instantes de tempo, para o espaço de Hilbert de estados do sistema. Este mapa é caracterizado por uma equação diferencial da seguinte forma: Se |ψ(t)⟩ denota o estado do sistema em qualquer momento $t$ , a seguinte equação de Schrödinger é válida:
Equação de Schrödinger (geral)
$i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle =H\left|\psi (t)\right\rangle$
$G$
Alternativamente, pelo teorema de Stone, pode-se afirmar que há um mapa unitário fortemente contínuo de um parâmetro $U (t)$ : $H \to H$ tal que $\left|\psi (t+s)\right\rangle =U(t)\left|\psi (s)\right\rangle$ $G$
(Este símbolo permuta um produto de operadores não comutativos da forma $B_{1}(t_{1})\cdot B_{2}(t_{2})\cdot \dots \cdot B_{n}(t_{n})$ $G$
O resultado é uma cadeia causal, a causa primária no passado no máximo r.h.s., e finalmente o efeito presente no máximo l.h.s. .)
na expressão reordenada determinada exclusivamente $B_{i_{1}}(t_{i_{1}})\cdot B_{i_{2}}(t_{i_{2}})\cdot \dots \cdot B_{i_{n}}(t_{i_{n}})$
para todos os tempos $s, t$ . A existência de um hamiltoniano auto-adjunto $H$ tal que $U(t)=e^{-(i/\hbar )tH}$ é uma consequência do teorema de Stone sobre grupos unitários de um parâmetro. Assume-se que $H$ não depende do tempo e que a perturbação começa em $t 0 = 0$ ; caso contrário, deve-se usar a série de Dyson, escrita formalmente como $U(t)={\mathcal {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,H(t')\right)\right]$ $G$
onde ${\mathcal {T}}$ é o símbolo de ordenação temporal de Dyson.
onde $H$ é um operador autoadjunto densamente definido, chamado de Hamiltoniano do sistema, $i$ é a unidade imaginária e $ħ$ é a constante de Planck reduzida. Como um observável, $H$ corresponde à energia total do sistema.
A representação de Heisenberg da mecânica quântica foca em observáveis e, em vez de considerar estados como variáveis no tempo, ela considera os estados como fixos e os observáveis como mutáveis. Para ir da representação de Schrödinger para a de Heisenberg, é preciso definir estados independentes do tempo e operadores dependentes do tempo assim: $\left|\psi \right\rangle =\left|\psi (0)\right\rangle$ $A(t)=U(-t)AU(t)$ É então facilmente verificado que os valores esperados de todos os observáveis são os mesmos em ambas as representações $\langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle$ e que os operadores de Heisenberg dependentes do tempo satisfazem
Representação de Heisenberg(geral)
${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},$
$G$
o que é verdade para $A = A (t)$ dependente do tempo. Observe que a expressão do comutador é puramente formal quando um dos operadores é ilimitado. Alguém especificaria uma representação para a expressão para fazer sentido dela.
A chamada representação de Dirac ou representação de interação tem estados e observáveis dependentes do tempo, evoluindo com relação a diferentes hamiltonianos. Esta representação é mais útil quando a evolução dos observáveis pode ser resolvida exatamente, confinando quaisquer complicações à evolução dos estados. Por esta razão, o hamiltoniano para os observáveis é chamado de "hamiltoniano livre" e o hamiltoniano para os estados é chamado de "hamiltoniano de interação". Em símbolos:
Representação de Dirac
$i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle ={H}_{\rm {int}}(t)\left|\psi (t)\right\rangle$
$i\hbar {\frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),H_{0}]$
$G$
A representação de Heisenberg é a mais próxima da mecânica hamiltoniana clássica (por exemplo, os comutadores que aparecem nas equações acima são diretamente traduzidos para os colchetes clássicos de Poisson); mas isso já é um tanto "intelectual", e a representação de Schrödinger é considerada a mais fácil de visualizar e entender pela maioria das pessoas, a julgar por relatos pedagógicos da mecânica quântica. A representação de Dirac é a usada na teoria de perturbação e é especialmente associada à teoria quântica de campos e à física de muitos corpos.
Equações semelhantes podem ser escritas para qualquer grupo unitário de simetrias de um parâmetro do sistema físico. O tempo seria substituído por uma coordenada adequada parametrizando o grupo unitário (por exemplo, um ângulo de rotação ou uma distância de translação) e o hamiltoniano seria substituído pela quantidade conservada associada à simetria (por exemplo, momento angular ou linear).
A representação de interação nem sempre existe, no entanto. Em teorias de campos quânticos de interação, o teorema de Haag afirma que a representação de interação não existe. Isso ocorre porque o hamiltoniano não pode ser dividido em uma parte livre e uma parte interativa dentro de um setor de superseleção. Além disso, mesmo que na representação de Schrödinger o hamiltoniano não dependa do tempo, por exemplo, $H = H 0 + V$ , na representação de interação ele depende, pelo menos, se $V$ não comuta com $H 0$ , uma vez que $H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}$ $G$
Então a série de Dyson mencionada acima tem que ser usada de qualquer forma.